Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(6,3), \(B\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)\), C(1;-2), D(15,0). Xác định giao điểm I hai đường thẳng BD và AC
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 4 điểm A(6;3) ; B( -1/3; 2/3); C(1; -2) và D( 15;0). Xác định giao điểm I hai đường thẳng BD và AC.
A. (3 ;2)
B. (3 ; 7)
C. 7 2 ; 1 2
D.(6 ; 1)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): y = -1/3x và (d2): y = 3x-2.
1)Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục.
2) Bằng phép tính tìm tọa độ giao điểm của (d1) và (d2).
3) Cho đường thẳng (d3): y=ax+b. Xác định a và b biết (d3) song song với (d2) và cắt (d1) tại điểm có hoành độ bằng 2.Giup minh voi a!
Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho 4 điểm A(0;1) ; B(1;3) ; C(2;7) và D(0;3). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.
A. 2 3 ; 3
B. 2 3 ; - 3
C. 3 ; - 2 3
D. 3 ; 2 3
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn \(\left(C\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=13\) và đường thẳng \(\left(\Delta\right):x-5y-2=0\). Gọi giao điểm (C) với đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) là A, B. Xác định tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C)
Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=13\\x-5y-2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}26y^2+26y=0\\x=5y+2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}\\\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}\end{cases}\)
\(\Rightarrow A\left(2;0\right);B\left(-3;-1\right)\) hoặc \(A\left(-3;-1\right);B\left(2;0\right)\)
Vì tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C) nên AC là đường kính của đường tròn (C). Hay tâm \(I\left(-1;2\right)\) là trung điểm của AC
Khi đó : \(A\left(2;0\right);B\left(-3;-1\right)\Rightarrow C\left(-4;4\right)\)
\(A\left(-3;-1\right);B\left(2;0\right)\Rightarrow C\left(1;5\right)\)
Vậy \(C\left(-4;4\right)\) hoặc \(C\left(1;5\right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): \(y=x^2\) và đường thẳng (d) \(y=\frac{-2}{3}\left(m+1\right)x+\frac{1}{3}\)
1, CMR với mỗi giá trị của m đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
2, Gọi x1,x2 là hoành độ các giao điểm ( d) và (P), đặt \(f\left(x\right)=x^3+\left(m+1\right)x^2-x\). CMR \(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{-1}{2}\left(x_1-x_2\right)^3\)
Pt hoành độ giao điểm:
\(3x^2+2\left(m+1\right)x-1=0\) (1)
\(ac=-3< 0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm pb trái dấu hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb với mọi m
Do \(x_1;x_2\) là nghiệm nên: \(\left\{{}\begin{matrix}3x_1^2+2\left(m+1\right)x_1-1=0\\3x_2^2+2\left(m+1\right)x_2-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right)x_1=\frac{1-3x_1^2}{2}\\\left(m+1\right)x_2=\frac{1-3x_2^2}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(m+1\right)\left(x_1+x_2\right)=1-\frac{3}{2}x_1^2-\frac{3}{2}x_2^2\)
\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^3-x_2^3+\left(m+1\right)\left(x_1^2-x_2^2\right)-\left(x_1-x_2\right)\)
\(=\left(x_1-x_2\right)\left(x^2_1+x_2^2+x_1x_2+\left(m+1\right)\left(x_1+x_2\right)-1\right)\)
\(=\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2+x_1x_2+1-\frac{3}{2}x_1^2-\frac{3}{2}x_2^2-1\right)\)
\(=-\frac{1}{2}\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\right)=-\frac{1}{2}\left(x_1-x_2\right)^3\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M (3; 2) và N (1; —2) lần lượt là trung điểm của đoạn AB và ID. Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M (3; 2) và N (1; —2) lần lượt là trung điểm của đoạn AB và ID. Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$, đỉnh $A\left(1 ; -2\right)$, $BD:\left\{\begin{aligned}&{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right.$, $t\in \mathbb{R}$ và $H\left(\dfrac{133}{37} ; -\dfrac{58}{37} \right)$ là hình chiếu của $A$ trên $CD$.
1. Lập phương trình các đường thẳng $CD , AB$.
2. Xác định tọa độ các đỉnh $D ,C, B$.
3. Xác định vị trí điểm $M\in BD$ sao cho $MA^{2} +MB^{2} +MC^{2} +MD^{2}$ đạt giá trị bé nhất.
1. \(\overrightarrow{AH}\left(\frac{96}{37};\frac{16}{37}\right)\). AB và CD cùng vuông góc với AH => AB,CD có VTPT cùng phương với vt AH
Đường thẳng AB: đi qua A(1;-2), VTPT (6;1) => \(AB:6\left(x-1\right)+\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow6x+y-4=0\)
Đường thẳng CD: đi qua H(133/37;-58/37), VTPT (6;1)
=> \(CD:6\left(x-\frac{133}{37}\right)+\left(y+\frac{58}{37}\right)=0\Leftrightarrow6x+y-20=0\)
2. Xét hệ \(\hept{\begin{cases}2x+y=4\\6x+y=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=4\end{cases}\Rightarrow}B\left(0;4\right)}\)
\(\hept{\begin{cases}2x+y=4\\6x+y=20\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=-4\end{cases}\Rightarrow}D\left(4;-4\right)}\)
BD và AC có trung điểm là \(I\left(2;0\right)\), suy ra \(C\left(3;2\right)\).
3. Ta có: \(MA^2+MC^2=2MI^2+\frac{AC^2}{2};MB^2+MD^2=2MI^2+\frac{BD^2}{2}\)
\(\Rightarrow MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MI^2+\frac{AC^2+BD^2}{2}\ge\frac{AC^2+BD^2}{2}\)(không đổi)
Vậy biểu thức đạt Min khi M trùng với I(3;2).
1. →AH(9637 ;1637 ). AB và CD cùng vuông góc với AH => AB,CD có VTPT cùng phương với vt AH
Đường thẳng AB: đi qua A(1;-2), VTPT (6;1) => AB:6(x−1)+(y+2)=0⇔6x+y−4=0
Đường thẳng CD: đi qua H(133/37;-58/37), VTPT (6;1)
=> CD:6(x−13337 )+(y+5837 )=0⇔6x+y−20=0
2. Xét hệ {
2x+y=4 |
6x+y=4 |
⇔{
x=0 |
y=4 |
⇒B(0;4)
{
2x+y=4 |
6x+y=20 |
⇔{
x=4 |
y=−4 |
⇒D(4;−4)
BD và AC có trung điểm là I(2;0), suy ra C(3;2).
3. Ta có: MA2+MC2=2MI2+AC22 ;MB2+MD2=2MI2+BD22
⇒MA2+MB2+MC2+MD2=4MI2+AC2+BD22 ≥AC2+BD22 (không đổi)
Vậy biểu thức đạt Min khi M trùng với I(3;2).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M(2;-2) là trung điểm của cạnh AC. Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho \(BN=\frac{1}{4}BC\). Điểm \(H\left(\frac{4}{5};\frac{8}{5}\right)\)là giao điểm của AN và BM. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm N nằm trên đường thẳng x + 2y - 6 = 0